Κυριακή, 11 Μαρτίου 2012

Η ανάμνηση της ομορφιάς στα Μαθηματικά




Ο Wittgenstein υπέθεσε ότι τα μαθηματικα τα εφευρίσκουμε και όχι τα ανακαλύπτουμε, δηλαδή είναι γεννήματα της δικής μας ανθρώπινης φαντασίας και οδηγούν σε τυχαίους δρόμους που δεν είναι σίγουρο αν έχουν κάποια αντιστοίχιση με την πραγματικότητα ! Και προέκτεινε τη σκέψη του μιλώντας για γλωσσικά παιχνίδια.Όμως ο Kant μας μίλησε για συνθετικές a priori προτάσεις που αποτελούν την μόνη αλήθεια.
Κοιτώντας τα παραπάνω σχήματα που αποτελούν υποθέσεις αποδείξεων του Πυθαγορείου Θεωρήματος, αναλογίζομαι πόσο δύναμη έχουν οι εικόνες που μας τροφοδοτούν τα Μαθηματικά και ιδιαίτερα η Γεωμετρία!
Παρατηρώντας το δεύτερο σχήμα που είναι μια Κινέζικη υπόθεση απόδειξης του 17ου αιώνα από τον Li Huang βλέπω 1) ότι τα μαθηματικά μοιάζουν με παιχνίδι(κινέζικο τάνγκραμ η στομάχιον του Αρχιμήδη) 2) η πρόταση που δείχνεται με το σχήμα δεν είναι τίποτε αν δεν συνοδεύεται απ' την οπτική απόδειξη 3) η γεωμετρία είναι όμορφη γιατί έχει λογική και ισορροπία.
Φαντάζομαι τι χαρά θα πήρε αυτός που πρωτοβρήκε αυτό το σχήμα! (Ενδέχεται αυτή την απόδειξη να την είχαν προτείνει πρώτοι οι Πυθαγόρειοι.Είναι τόσο απλό, άμεσο, διδακτικό.
Βέβαια για να ολοκληρωθεί η απόδειξη πρέπει πρώτα να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα: ΚΙΖ, ΑΜΒ, ΒΗΖ είναι ίσα και μετά ότι είναι ίσα τα πράσινα και τα γαλάζια τρίγωνα.
Αυτά τα ίδια υποστηρίζει και ο Νεοπλατωνικός Πρόκλος τον 5ο μ.Χ. αιώνα όταν μας λέει:"Προς όσους λένε αυτά θα απαντήσουμε επιδεικνύοντας την ομορφιά των μαθηματικών στηριγμένοι σ' αυτά με τα οποία επιχείρησε να μας πείσει ο Αριστοτέλης. Γιατί λέει ότι τα εξής τρία πράγματα συμβάλλουν ιδιαιτέρως στην ομορφιά των σωμάτων και των ψυχών, η τάξη, η συμμετρία και ο καθορισμός".
Ομως για να προκύψει μια απόδειξη χρειάζονται εργαλεία του λόγου και της σκέψης, που αντλούν καταγωγή από τη φιλοσοφία και δη την διαλεκτική:"η διαλεκτική, η οποία είναι το πιο καθαρό μέρος της φιλοσοφίας, είναι απλωμένη αμέσως πάνω από τα μαθηματικά και περιέχει ολόκληρη την ανάπτυξή τους και χορηγεί στις επιστήμες τους τις κάθε λογής δυνάμεις από τον εαυτό της, τελειοποιητικές, κριτικές και νοητικές- εννοώ τις μεθόδους της σύνθεσης, της ανάλυσης, της διαίρεσης, του ορισμού και της απόδειξης".


Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται ολοκάθαρα η εξήγηση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος: τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΒΔ, ΑΔΓ είναι ανάλογα με τα αντίστοιχα τετράγωνα των πλευρών. Ομως ισχύει και ΑΒΓ=ΑΒΔ+ΑΔΓ. Αρα ισχύει και το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Δηλ το ορθογώνιο τρίγωνο είναι το μοναδικό τρίγωνο όπου αν φέρουμε μια ευθεία απ' την κορυφή Α τέμνουσα κάθετη στην υποτείνουσα ΒΓ σχηματίζονται δύο επίσης όμοια τρίγωνα. Δηλαδή για το ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει η ομοιότητα των τριγώνων και η προσθετικότητα των εμβαδών.Είναι ένα θαυμάσιο αποτέλεσμα ένα σχήμα fractal, που αποτελεί εξήγηση του Πυθαγόρειου.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου