Georg Cantor 2

Κάντορ :
Γιατί Θεέ μου μου το κάνεις αυτό ?
Γιατί με κοροϊδεύεις ?
Δώσ' μου το χάρισμα ! Δώσ' μου τη Χάρη Σου !!!
Θέλω να τους δείξω , θέλω να κλείσω τα στόματα !

Ζητώ ο φτωχός το Έλεός Σου !!!
Δώσε μου φώτιση, δώσε μου φώτιση !
Μη μ' εγκαταλείπεις !
Είμαι το χέρι του Θεού !

Αμαρτία ! Τι λες ? Είναι αμαρτία ?
Αμαρτία που θέλω να σε γνωρίσω ?
Δεν είσαι επιστημονικό αντικείμενο ?
Μα δεν επηρεάζει την πίστη μου όλο αυτό !
Έτσι κι αλλιώς Σε αγαπώ και σε πιστεύω !
Όμως γιατί δεν με βοηθάς ?
Μήπως όλο αυτό είναι λάθος ?
Μήπως ότι ανακάλυψα είναι μια φενάκη, ένα τίποτα, μια σαχλαμάρα ?
Πατέρα, τι πρέπει να κάνω ? Να σκεφτώ πιο απλά ?
Την οικογένειά μου και το σπίτι μου ?
Δεν έχω μυαλό για σπίτι και οικογένεια !

Κρόνεκερ :
Είστε τρελός κύριε !
Αυτές είναι οι θεωρίες του κυρίου τυχάρπαστου Κάντορ !
Όλα βλακείες ! Απάτη ! Κομπογιαννιτισμοί !
Αρρώστια στο σώμα των Μαθηματικών, που είναι κρυστάλλινα, διαυγή, πεντακάθαρα !
Στέρεα σαν διαμάντια !
Καμία ταλάντευση, καμία αμφιβολία : 5+3=8, οι διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται απ' το ίδιο σημείο !
Απέραντες αλήθειες !
Όχι βλακείες ! "Ο πληθάριθμος των περιττών είναι ίδιος με τον πληθάριθμο όλων των φυσικών "
Κουταμάρες ! Που το ξέρεις ? Έχεις μετρήσει μέχρι το άπειρο ? Χα, χα,χα,χα.......Εκεί θα σαπίσεις ! Στο Χάλε !

Κάντορ :
Ένα βήμα, ένα βήμα ακόμη πριν το τέλος .... Βοήθησέ με Θεέ μου ! Δώσε μου τη δύναμη ν' αντιμετωπίσω αυτή τη μάχη !
Πάλι αδιέξοδο. Πάλι λάθος !
Γιατί δεν μου δίνεις τη λύση ?
Το ξέρω, το αισθάνομαι, το νιώθω, είμαι κοντά. Ξέρω την αλήθεια !
Γιατί δεν μου την αποκαλύπτεις ?

Μου φαίνεται, μου φαίνεται ότι το βρήκα ! Ναι το βρήκα ! Έχω βρει τη λύση ! Υπόσχομαι Θεέ μου να σε υπηρετώ απαρέγκλιτα ! Ευχαριστώ Θεέ μου, ευχαριστώ ! Υποκλίνομαι ....
Δεν θέλω τίποτε άλλο, αφήστε με....Αλλά τι είναι αυτό πάλι ? Οχιιιιιι.....Οχι πάλι ! Λάθος !

Είμαι ένα μικρό παιδάκι
ο χρόνος είναι μια χίμαιρα
ο κόσμος πηγάδι
το σπίτι καράβι που ταξιδεύει
το φως η διαφαινόμενη αμαρτία

Το βρήκα, δεν μπορεί να κάνω λάθος, έξω κάτι χελιδόνια μου πιπιλίζουν το μυαλό, το κεφάλι μου πάει να σπάσει, έχω πυρετό, η πόρτα χτυπάει, κάποιος με επισκέπτεται πάλι, δεν πρέπει να με δει, χιλιάδες γράμματα χοροπηδάνε στο τραπέζι !
Το σύνολο όλων των συνόλων δεν υπάρχει !
Δεν υπάρχει Θεός !
Άπειρος χώρος, άπειρος χρόνος, άπειρα άπειρα ! Ο μόνος τρόπος για να κατανοήσουμε το άπειρο είναι το άπειρο !

Georg Cantor, ο μεταφυσικός των Μαθηματικών

Ήταν ένας εξαιρετικά ευαίσθητος άνθρωπος, καλλιτεχνική φύση, φιλόσοφος και πιστός θρησκευόμενος. Δεν μπορεί να αποφανθεί τελικά κανείς, τι προηγήθηκε, το πηγαίο μαθηματικό του ταλέντο ή οι φιλοσοφικές, θεολογικές του ανησυχίες και έφτασε σε απάτητα μονοπάτια του νου και δη στις απόκρημνες περιοχές του απείρου. Κάποια στιγμή έπεσε στο βάραθρο και δεν ξαναβγήκε με εξαίρεση κάποια φωτεινά διαλείμματα για 20 χρόνια περίπου, πιστεύω όχι τόσο εξ αιτίας των "περίεργων" θεωριών του, όσο εξ αιτίας της υποδοχής που του επιφύλαξαν οι σύγχρονοι συνάδελφοί του. Επί 30 και πλέον χρόνια δίδαξε σε ένα δευτεροκλασάτο Πανεπιστήμιο, του Χάλε, στη Γερμανία, παρά τις απεγνωσμένες του παρακλήσεις και αιτήσεις για διορισμό στο Γκέτιγκεν ή στο Βερολίνο. Αιτία το αρτηριοσκληρωτικό κατεστημένο της εποχής που είχαν συστήσει άνθρωποι σαν τον Κρόνεκερ. Υπερβολές ? Ίσως. Έτσι όμως το εξέλαβε τελικά ένας ευαίσθητος άνθρωπος σαν τον Κάντορ το 1880 περίπου, ο οποίος ένιωθε πιεσμένος αφόρητα και από την αδιέξοδη εμμονή του να επιλύσει τον γρίφο της λεγόμενης "υπόθεσης του συνεχούς". Είχε ανακαλύψει έναν καινούργιο κόσμο ! Στην αλληλογραφία του περιέγραφε ότι δεν μπορούσε  να πιστέψει αυτά που συμπέραινε ! Μήπως ήταν όλα ανοησίες ? Μήπως δεν άξιζε τίποτε ? Μήπως είχαν όλοι οι υπόλοιποι δίκιο κι αυτός είχε λάθος ? Ποια είναι τελικά η λογική πραγματικότητα και ποιο είναι το ψέμα ?

Σκίτσο του Georg Cantor

Τι είναι αληθοφανές τελικά ? Ότι ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με μια ευθεία, και μετά από διαδοχικά βήματα με όλο τον χώρο ? Ότι οι περιττοί αριθμοί έχουν την ίδια ισχύ με τους φυσικούς ? Ότι αν πάρουμε το σύνολο όλων των συνόλων αυτό είναι μικρότερο από ένα άλλο σύνολο που είναι το δυναμοσύνολό του ? Ότι στα απειροσύνολα το μέρος μπορεί να είναι ίδιο με το όλο ? Ότι με το λεγόμενο διαγώνιο επιχείρημα αποδεικνύεται ότι κάποια άπειρα όπως των πραγματικών είναι μεγαλύτερα άπειρα από εκείνα των ακεραίων ? Ότι υπάρχουν οι λεγόμενοι "διατακτικοί αριθμοί" που διατάσσουν αυτά τα άπειρα μέχρι το άπειρο ? Ότι το λεγόμενο απόλυτο άπειρο και φιλοσοφικά νοημένο δεν υφίσταται ?
Όλα αυτά τα "περίεργα" τα απέδειξε και τα θεμελίωσε ο Γκέοργκ Κάντορ στο τέλος του 19ου αιώνα και άνοιξε τα πανιά της επιστήμης του απειροστικού λογισμού !
Όμως δεν είχε υπολογίσει τις αντιδράσεις ! Τον είπανε απατεώνα, τον εξορίσανε από τα κυκλώματα της εποχής και η επαγγελματική του εξέλιξη παρέμεινε μηδενική. Κάποια στιγμή το τελειωτικό χτύπημα ήταν η μη δημοσίευση του Principien από τον Mittag-Leffler το 1885.
Από τότε ξεκίνησε μια πορεία στο λαβύρινθο του ασυνείδητου, ο οργανισμός του έφτιαξε ένα στέρεο κέλυφος άμυνας ψευδαίσθησης απέναντι στη σκληρή πραγματικότητα ! Αυτό το κέλυφος που δεν μπόρεσε να κατασκευάσει όσο ήταν μέσα στη σύμβαση του κόσμου. Και χάθηκε μέσα στην καθόλου σκέψη ! στην πλήρη αφαίρεση !
Όταν πια αναγνωρίστηκε το έργο του μετά από λίγο ήταν πια αργά για να το χαρεί !
Το παράδειγμα της ζωής του Γκέοργκ Κάντορ μας δείχνει ότι όταν τα Μαθηματικά είναι ελεύθερα και  συνδεδεμένα με τις ανησυχίες και τους γενικότερους προβληματισμούς του ανθρώπου, άσχετα με το όποιο τίμημα, αποδίδουν καρπούς και προχωράνε την επιστήμη και τη σκέψη !
Στο Grundlagen γράφει :
"Εξ αιτίας αυτής της ιδιόμορφης θέσης που διακρίνει τα Μαθηματικά από τις άλλες επιστήμες και που είναι μια εξήγηση για τον χαλαρό και ελεύθερο τρόπο που ακολουθούν αυτά, αξίζουν το όνομα Ελεύθερα Μαθηματικά, μια ονομασία που αν είχα την επιλογή θα την προτιμούσα από την έκφραση : Καθαρά Μαθηματικά.
Περίπου στο τέλος της καριέρας του, όσο ήταν ακόμη διαυγής, ασχολήθηκε με τη θεολογία αλλά και με την ιστορία. Προσπάθησε να εφαρμόσει τη θεωρία των διατακτικών αριθμών στη προσπάθεια σύλληψης της ιδέας του Θεού ! Αφού απόλυτο άπειρο δεν υπήρχε, δεν ήταν δυνατόν να εξακριβωθεί η ουσία του Θεού, όπως και το σύνολο των σκέψεων του Θεού ήταν άπειρο....Ο Gurbelet που τον εκτιμούσε πολύ, χρησιμοποίησε τη θεωρία του Κάντορ για να θεμελιώσει κάποια επιχειρήματα ύπαρξης του Θεού.

Για να γράψω αυτό το post στηρίχθηκα στα βιβλία :
Georg Cantor, His Mathematics and philosophy of the Infinite, Joseph Warren Dauben
Συμβολές στη θεμελίωση της θεωρίας των υπερπεπερασμένων αριθμών, Georg Cantor, ΤΡΟΧΑΛΙΑ
Άπειρο, John D. Barrow, ΤΡΑΥΛΟΣ
O Σατανάς, ο Cantor και το άπειρο, Raymond Smullyan, ΚΑΤΟΠΤΡΟ
Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Αναπολιτάνος Διονύσιος, ΝΕΦΕΛΗ.
ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ, E. T. BELL, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ

9 δια 10 λογάριθμος του 8

-Περάστε, καθήστε...
-Ευχαριστώ, πως βρέθηκα εδώ, ονειρεύομαι ?
-Όχι δυστυχώς δεν έχετε ζήσει πιο Πραγματική Πραγματικότητα !!!!!
-Ποιος είστε ?
-Θα καταλάβετε σιγά-σιγά...
-!!!!!
-Αυτή τη στιγμή οδηγείτε την μηχανή σας...
-Ναι, ναι το θυμάμαι... Αλλά πως βρέθηκα εδώ ?
-Όμως κάτι δεν πηγαίνει καλά ..
-Γιατί δεν οδηγάω τώρα ?
-Όπως σας είπα, κάτι δεν πήγε καλά...
  Κοιτάξτε, θυμάστε μπροστά ένα Opel Vectra λευκό ? Λοιπόν ο οδηγός μιλούσε στο κινητό. Κάποια στιγμή αφηρημένος έστριψε απότομα δεξιά για ν' αποφύγει τον σταματημένο μπροστά, εσείς για να τον αποφύγετε ελιχθήκατε απότομα δεξιά, ένα φορτηγό σας είδε ξαφνικά και .........καταλαβαίνετε τη συνέχεια.
-Και παρακάτω ? Τώρα που είμαι ?
-Είστε λιπόθυμος στο δρόμο. Περιμένετε ασθενοφόρο.....
  Σε λίγο πεθαίνετε εκτός κι αν συμβεί κάποιο θαύμα ....
-...........
-Τώρα νομίζω καταλαβαίνετε που βρίσκεστε....
-ναι......νομίζω....
-Μήν το παίρνετε βαριά. Κάποια στιγμή θα συνέβαινε.
-Ναι αλλά γιατί ΤΩΡΑ !!!!!!!
-Τυχαίο ! Μια συγκυρία από παράγοντες : η ζέστη, η αφηρημάδα, η κακή σήμανση, η ταχύτητα, το άγχος. Όλα μαζί.
-Υπάρχει κάποια πιθανότητα να......?
-Κουνάει αρνητικά το κεφάλι του και σουφρώνει τα χείλια του. 
-Οι γιατροί, τα μηχανήματα ανάνηψης, αν προλάβει το ασθενοφόρο ?
-5 τοις χιλίοις.
-Α ! τόσο καλά.
-Ποτέ δεν είχε αυτή η χώρα σωστό σύστημα υγείας.
-Και τότε ?
-Τι τότε ?
-Εδώ, τώρα, αυτή τη στιγμή είμαι ζωντανός ή τουλάχιστον έτσι νιώθω.Τι κάνω εδώ ακριβώς ?
-Τίποτε, απλά μια διανοητική συζήτηση.Γνωρίζουμε ότι πάντα είσασταν θεωρητικός τύπος και αναρωτιόσασταν για τα πάντα !
-Μη χρησιμοποιείτε σας παρακαλώ αόριστο !!!
-Εντάξει, εντάξει γνωρίζουμε ότι είστε θεωρητικός τύπος, και είπαμε πριν το ......καταλαβαίνετε να σας προετοιμάσουμε με μια συζήτηση.............Κάναμε μια εξαίρεση σε σας.
-Καλωσύνη σας......Ήθελα να ζήσω ακόμη. Εγώ , είχα ....έχω δεν ξέρω πως στο διάλο να το πω, έχω σχέδια για τη ζωή. Θέλω να δημιουργήσω, να γνωρίσω τον κόσμο, να αισθανθώ....Είναι κακό αυτό ?
-Όχι, καθόλου. Αλλά αυτά τα πράγματα είναι έτσι.
-Έχω υποχρεώσεις, μια οικογένεια, έχω και κάτι κληρονομικά να διευθετήσω !
-Κάνει μια γκριμάτσα.
-Δεν είναι σωστό αυτό, είναι ΑΔΙΚΟ !!!!!!! είναι ΑΔΙΚΟ !!!!!! Άλλοι καπνίζουν, πίνουν και είναι μια χαρά, κάθε μέρα ρισκάρουν και συνεχίζουν να ζουν. Γιατί σε μένα ρε πού.....!!!! Γιατί ?
  Λοιπόν, ξέρεις τι θα κάνω τώρα ? Θα σου βαρέσω μια γροθιά και θα το σκάσω απ' αυτό το γελοίο πληκτικό χώρο !!! Δεν με νοιάζει τίποτα.
-Σας συμβουλεύω να κάτσετε ήσυχος, αν κινηθείτε έτσι θα επισπεύσετε τα πράγματα. Εγώ σας φέρομαι νομίζω καλά ! Άλλωστε κοιτάξτε γύρω σας ! Δεν υπάρχει καμιά διαφυγή.Βλέπετε καμιά πόρτα ? Κανένα παράθυρο ?
-ΟΧΙ.... Αρχίζει να συνειδητοποιεί την πραγματικότητα.Πιάνει με τα δυο χέρια το κεφάλι του.
  Ξεσπάει σε λυγμούς....
  ΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑ  γιατί ρε γαμώτο. Γιατί τώρα,γιατί τώρα, γιατί τώρα,έτσι ξαφνικά ?
  ΘΕΛΩ ΝΑ ΖΗΣΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ !!!!!
  Σηκώνεται. Δίνει μια κλωτσιά στην καρέκλα.
  ΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑ γιατί ρε πού..... !!!!!
  Εσύ ποιος είσαι, εσύ ποιος είσαι, ήρθες να κάνεις πλάκα με την κακομοιριά μου ?
-.........
-Κρυώνω, δεν είμαι καλά, κρυώνω.
-Είστε καλός άνθρωπος. Πάντοτε είσασταν. Και προσπαθήσατε για το καλύτερο.
-Σκάσε, σκάσε !!!!!!!! σήκω φύγε !!
-...........
-Γυρίζει τον κοιτάζει. Ποιος είσαι συ ρε πούσ... ? Μήπως έκανα κάτι κακό και πληρώνω γι αυτό ?Δώσε μου μια ευκαιρία, δως' μου μια ευκαιρία σε παρακαλώ......Και ότι θες από μένα Σου υπόσχομαι από δω και πέρα θα είμαι καλύτερος !. Μην το κάνεις σε παρακαλώ ! Πέφτει στα τέσσερα και του φιλάει τα πόδια. Σε παρακαλώ μη μ' αφήσεις !!!!
-Δεν μπορώ να κάνω πολλά πράγματα. ¨Ομως ας περάσουμε στα τυπικά: θα χρειαστείτε ένα παράβολο των 10  κι ένα χαρτόσημο των 2, 30 ευρώ.
-Συνεχίζει, αγκαλιάζει τα πόδια του.Δωσ'μου μια ευκαιρία. Μια τελευταία ευκαιρία.
-Καλά, καλά θα πάρω ένα τηλέφωνο. Αλλά δεν εγγυώμαι τίποτε.
-Σηκώνεται, ξεσκονίζεται και κάθεται πάλι Παρατηρεί όλες του τις κινήσεις με ένταση. Σας ευχαριστώ, σας ευχαριστώ !!!!!!!
-Έλα, έλα. Έχω δω τον κύριο του ατυχήματος με την μηχανή. Πριν από λίγο.
-Ναι, ναι.........τι σας λέει ? Τα μάτια του γυαλίζουν.
-Κατεβάζει το τηλέφωνο.Δυστυχώς κύριε το ασθενοφόρο καθυστερεί. Όμως αν σας παρηγορεί αυτό,
  από πάνω σας βρίσκεται μια πολύ όμορφη γυναίκα και σας χαϊδεύει. Κλαίει...... Εσείς όμως .........
-Σκύβει πάλι κάτω.
-Λοιπόν ? (Πολύ σοβαρός).
-Τι λοιπόν ?
-Έχετε λίγα δευτερόλεπτα ακόμη
-Κουνάει καταφατικά το κεφάλι.
-Πως είναι αυτή ?
-Όμορφη, μελαχρινή και φορά ένα δροσερό, καλοκαιρινό φουστάνι.
-Πως είναι ο ουρανός ? έχει σύννεφα ?
-Οχι..
-Πως μυρίζει γύρω ?
-Καυσαέρια τι άλλο και λίγο ψημένο καλαμπόκι............Πρέπει να φύγουμε.
-Απ' το σημείο που είμαι φαίνεται η θάλασσα ?


Ο ήρωας σιγομουρμουρίζει παρά απαγγέλλει :


Ένα γαλάζιο φως που κατεβαίνει
τύμπανα παίζουν ρυθμικά και λυπημένα
χιλιάδες ψίθυροι που σέρνονται σα σκούπα
το μάτι του κροκόδειλου ακίνητο επιμένει
μια έμμονη ιδέα τρυπάει το μυαλό
9 δια 10 λογάριθμος του οκτώ.

αποβλεπτικότητα

Μετά από δύο χρόνια "επιστροφής" στα θρανία και ενός χρόνου έρευνας και μελέτης κατά τη διάρκεια   του μεταπτυχιακού της "Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών" έρχομαι να κάνω απολογισμό και αναπόληση.

Τελικά δεν υπάρχει καλύτερος τρόπος για να μορφωθεί κάποιος, να σκεφτεί, να συζητήσει και να δημιουργήσει ισχυρές εντυπώσεις απ' αυτό το συνηθισμένο χιλιοκατηγορημένο σχολικό μάθημα. Τι κι αν δημιουργηθούν χιλιάδες ιστοσελίδες επιμόρφωσης, με βίντεο και εικόνες, τι κι αν φτιαχτούν χιλιάδες διαδραστικά προγράμματα, τι κι αν εισαχθούν χιλιάδες πρωτότυπες μέθοδοι διδασκαλίας, το παραδοσιακό σχήμα όρθιος καθηγητής- ακροατές μαθητές-πίνακας, έχει καταξιωθεί και επαληθεύεται συνεχώς η αξία του. 

Και αυτό το μεταπτυχιακό σ' αυτό το σχήμα στηρίχθηκε. Ότι κι αν ακούστηκε για συνεργασία, συζήτηση νομίζω ότι αποτελεί βέβαια "υψηλή προσδοκία" από τη μια, από την άλλη είναι πολύ δύσκολο να ξεπεραστούν προκαταλήψεις, παραδόσεις, συνήθειες αιώνων.Αυτή η μέθοδος έχει δοκιμαστεί  ήδη από τ' αρχαία χρόνια, στην εποχή των Πυθαγορείων, όπου οι μαθητές χωρίζονταν σε ακουσματικούς και μαθηματικούς. Βέβαια, καθοριστικό ρόλο σ' αυτό το σχήμα έχει ο διδάσκων καθηγητής, με τα πλεονεκτήματα και ελαττώματά του. Κακά τα ψέμματα, το να επωμισθεί κάποιος αυτόν τον ρόλο θέλει κότσια. Κατ' αρχάς θέλει επάρκεια, δεύτερον ικανότητα επικοινωνίας, τρίτον ψυχολογική αντοχή, τέταρτον αγάπη, πίστη, υπομονή και αισιοδοξία.Επειδή κανείς όμως δεν είναι τέλειος, κάποιος διαχειρίζεται ένα προτέρημα που έχει για να καλύψει τα ελαττώματά του. Η προσπαθεί να αντιστρέψει κάποιο ελάττωμα που έχει σε προτέρημα. Δύσκολη δουλειά, είναι αλήθεια και έχει να κάνει με απροσδιόριστους παράγοντες όπως είναι η εφηβική ψυχολογία, με ανεξέλεγκτες παρορμήσεις και με αδιερεύνητους συντελεστές όπως είναι η γλώσσα του σώματος, οι αντανακλαστικές κινήσεις, ο αυθορμητισμός. 

Όμως τελικά, έχει τόσες κρυμμένες δυνατότητες αυτός ο ρόλος Φαντάζομαι τον τέλειο καθηγητή. Για μένα είναι αυτός που δεν υποκρίνεται τίποτε και δεν προσχεδιάζει τίποτε. Πλήρης αυθορμητισμός.Αναπαράγει στον πίνακα διαδικασίες δόμησης λογικής σκέψης. Με ψυχραιμία, νηφαλιότητα διατυπώνει τα βήματα όχι όπως ακριβώς τα θυμάται στην τελική μορφή τους, αλλά όπως  τα θυμάται την πρώτη-πρώτη φορά που τα ανακάλυψε στην παιδική ηλικία. Πλάνες, αοριστίες, φαύλοι κύκλοι, αδιέξοδα όλα είναι χρήσιμα να διατυπωθούν όπως την πρώτη φορά, αρκεί να αντιπαρατεθούν με το σωστό τρόπο. Αυτός είναι ένας δρόμος που οδηγεί στη μάθηση.Ο δάσκαλος προσποιείται ότι είναι ο μαθητής. Προσποιείται ότι δεν ξέρει τίποτε. Και δείχνει τον δρόμο της ανακάλυψης. 

Μετά απ' αυτά παίζουν ρόλο δευτερεύοντα στοιχεία, όπως η διαχείριση του πίνακα, η αισθητική, η ευγλωττία, η ηθική που εκπέμπεται κ.λ.π. 

Όλ' αυτά τα αναφέρω επειδή ο τίτλος του μεταπτυχιακού έχει βασικό άξονα τη διδακτική. Τώρα κατά τη διάρκεια του, πραγματικά δεν μάθαμε στην πράξη πως να διδάσκουμε, αλλά πήραμε επί μέρους στοιχεία της επιστήμης της διδακτικής των Μαθηματικών, εμμέσως όμως αποκτήσαμε την πολύτιμή εμπειρία του "πως αισθάνεται κανείς καθισμένος για ώρες σ' ένα θρανίο σαν ακροατής αλλά και παρατηρητής μιας εργασίας που συνήθως την κάνει ο ίδιος". Και ήταν πολύτιμη αυτή η εμπειρία αφού έτσι ξαναείδαμε, όσοι θέλαμε τουλάχιστον, τι φαίνεται άσχημο, πόσο ρόλο παίζει η δικαιοσύνη στην αντιμετώπιση των μαθητών, πόσο σπουδαία είναι η γλώσσα του σώματος, πόσο σπουδαίο πράγμα είναι η ψυχραιμία και η πραότητα, πόσο σπουδαίο είναι να γνωρίζεις τι ακριβώς ξέρεις,  κ. ά. 

Η ίδια η διαδικασία της σχολικής διδασκαλίας εμπεριέχει φοβερούς κινδύνους και μοιάζει με μετέωρα βήματα ενός σχοινοβάτη. Οι μαθητές είναι ευαίσθητοι και ανά πάσα στιγμή στο μάθημα κρίνεται όπως τουλάχιστον νομίζουν το νοητικό επίπεδό τους, όπως και καθορίζεται η σύγκριση μεταξύ τους. Για πολλούς απ' αυτούς αυτή η διαδικασία καθίσταται τραυματική και άλλες φορές εξωτερικεύεται, άλλες φορές όμως παραμένει σιωπηλή και εκφράζεται με πλάγιους τρόπους. Στη διαδικασία αυτή παίζει βασικό ρόλο και η σχέση του καθ'ενός με τους υπόλοιπους.

Όλ' αυτά τα βιώσαμε στην πράξη κατά τη διάρκεια του μεταπτυχιακού όντες οι ίδιοι μαθητές. Στη διάρκεια των μαθημάτων, κατά κάποιο τρόπο, επαναλήφθηκε η περίοδος της σχολικής ηλικίας. Δεν αλλάζει εύκολα ο άνθρωπος. Οι ίδιες αντιδράσεις, η ίδια ψυχολογική αντιμετώπιση, τα ίδια στερεότυπα, οι ίδιοι ανθρώπινοι τύποι : αυτός που επιβάλλεται, αυτός που επικοινωνεί, ο εσωστρεφής, ο διπλωμάτης, τα ίδια σχήματα : το πειρακτήρι μαθητής, ο αντιγραφέας, ο εξυπνάκιας. Αλλά και απ' τη μεριά του καθηγητή : ο παραδοσιακός, ο φιλικός με τους μαθητές, ο αυταρχικός, ο ανασφαλής, ο άνετος κ.λ.π.
Έτσι λοιπόν και μ' αυτό τον τρόπο είχαμε την ευκαιρία να επιστρέψουμε στην παιδική ηλικία, με τα όμορφά της, την πλάκα, την ξεγνοιασιά αλλά και τα άσχημά της, τα μαθητικά τραύματα, τα εμπόδια, τις δυσκολίες. Τι να πει κανείς. Η δουλειά μας περιέχει την αιώνια επιστροφή στην παιδική ηλικία. Απ' αυτό δεν γλυτώνουμε ποτέ !
Ο άνθρωπος συχνά έχει την τάση να ενεδύεται παραδοσιακούς ρόλους, ιδίως όταν βρίσκεται σε κλασικά σχήματα που γνωρίζει καλά. Δηλ εύκολα γίνεται μαθητής, επαναστάτης, αντιρρησίας όταν απέναντί του συναντάει αυταρχικές αυθεντίες.
Αυτό που μου έμεινε ιδιαίτερα είναι το γεγονός ότι δεν υπάρχει χειρότερη εμπειρία από το να δυσκολεύεσαι να συμμετέχεις κάπου όπου οι υπόλοιποι συμμετέχουν εύκολα ! Δυστυχώς το έζησα κι αυτό.
Τώρα, στο κυρίως περιεχόμενο των μαθημάτων, Τα περισσότερα μαθήματα ήταν θεωρητικά σχετικά με την επιστήμη της Διδακτικής των Μαθηματικών, Επιστημολογία, Ιστορία των Μαθηματικών, Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Έρευνα και Στατιστική, Γνωστική Ψυχολογία.Υπήρχαν και αρκετά καθαρά Μαθηματικά. Άλγεβρα, Απειροστικός λογισμός, Γεωμετρία.
Η Διδακτική των Μαθηματικών διαμορφώθηκε στα μέσα του περασμένου αιώνα, με όρους όπως ZPD  (Ζώνη επικείμενης ανάπτυξης), διδακτικό συμβόλαιο, scaffolding και δασκάλους όπως ο Vigotski, Piaget, Sfard, Papert, Duval, Sierpinsca κ.ά.
Η Επιστημολογία ξεκινάει με γενική θεωρία των επιστημών, συνεχίζει με φιλοσοφία, κυρίως φαινομενολογία και μια διαδρομή στους κυριότερους ερευνητές όπως Lacatos, Pierce, Φρόϊντενταλ.
Η ιστορία των Μαθηματικών χωρίζεται σε δύο τομείς : τα αρχαία Μαθηματικά που τα  πραγματεύεται κυρίως ο καθηγητής κ. Νεγρεπόντης και τα νεότερα Μαθηματικά. Πραγματικά εδώ κανείς μαθαίνει τι σημαίνει έρευνα, μελέτη, ανακατασκευή, εικασία, σωστή εργασία. Τα νεότερα Μαθηματικά έχουν σαν αντικείμενο τις νεότερες  Γεωμετρίες, τον Riemann, τον Klein το θεώρημα Μενελάου.
Η Φιλοσοφία των Μαθηματικών διατρέχει όλες τις θεωρίες για τα Μαθηματικά.Παρελαύνουν ονόματα όπως : Leibniz, Kant, Descartes, Cantor.
Η Έρευνα όπως και η στατιστική έχουν να κάνουν με το κομμάτι της ποσοτικής και ποιοτικής έρευνας.Η Γνωστική ψυχολογία έχει σαν αντικείμενο το κομμάτι της ψυχολογίας που εξειδικεύεται στη γνώση και την μάθηση. Εδώ έχουμε όρους όπως εννοιολογική αλλαγή, θετική ενίσχυση, αρνητική ενίσχυση, εξαρτημένο ερέθισμα, γνώση, νόηση, μνήμη, μάθηση.
Αισθάνομαι πολύ τυχερός πού έζησα όλη αυτή την εμπειρία που οφείλεται κυρίως στην πρωτοβουλία του καθηγητή, ερευνητή, δάσκαλου  κ. Νεγρεπόντη αλλά και στους υπέροχους δασκάλους Λάππα, Σπύρου, Πόταρη, Ζαχαριάδη, Βασιλείου, Βοσνιάδου, Κλαουδάτο.